segunda-feira, 25 de junho de 2012

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

PROBLEMA:

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?

R: X notas de R$20,00 e Y notas de R$5,00
Montando o sistema fica assim:

Para resolvermos este sistema, basta multiplicar uma das equações para que fique igual , mas com os sinais opostos.

1° passo: pegar a primeira equação e multiplicar por (-5) para tornar o Y igual e com sinal oposto para podermos simplificar o Y e ficar somente com uma incógnita para achar seu valor.

x+y = 10 *(-5)
-5x-5y = -50 ← Ficando assim a equação .

2° Passo: Somar a primeira equação com a segunda.

Resposta: Cláudio usou seis notas de R$20,00 e quatro notas de R$5,00.

DEFINIÇÃO

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os sistemas de equações podem ser possível e determinado, acontece quando se tem uma única solução, ou seja, quando as retas formadas pelas equações se cruzam em um único ponto. E podem ser impossível quando as retas formadas pelas equações no gráfico são paralelas.

Os métodos usados na resolução de um sistema são: Adição e substituição.

  • O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. como está explicado no exemplo acima.

  • O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação.

EXEMPLOS

I) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de substituição:

II) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de adição:

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x.


2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) } .

ATIVIDADES

1) Com o uso de uma planilha eletrônica (BrOffice Calc), dê a resolução gráfica do seguinte sistema:

Para Obter a resolução gráfica desse sistema, utilizaremos o BrOffice Calc. Descreverei passo a passo o modo de construção da tabela e do gráfico.

1° - com o BrOffice Calc Aberto, Na célula A1, escreveremos o título do conteúdo "SISTEMAS DE EQUAÇÃO"

2° - Na célula A3 e A4, colocaremos as duas equações na forma reduzida: y= 5 - x
y= 1+x.
3° - Na célula A6 escreve-se EQUAÇÃO A e na célula D6 escreve-se EQUAÇÃO B.

4° - Nas célular A7 e A8 colocaremos as letras A com o sinal de igual (A=) e B com o sinal de igual (B=).

5° - Nas células D7 e D8 Faremos a mesma coisa.

6° - Nas células B7 coloca -se o coeficiente angular e na célula B8 coloca -se o coeficiente linear (da primeira equação)

7° - Nas células E7 coloca-se o coeficiente angular e na célula E8 coloca-se o coeficiente linear ( da segunda equação).

8° - Na célula A10 colocaremos X e na célula B10 colocaremos Y para atribuirmos valores para a primeira equação.

9° - Na célula D10 colocaremos X e na célula E10 colocaremos Y para atribuirmos valores para a segunda equação.

10° - Na célula A11 poderemos atribuir qualquer valor, colocaremos então, -5 , na célula A12 coloca-se o valor -4... até a célula A21 chegando no valor 5.

11° - Para calcular o valor de Y, usaremos a seguinte formula: y=ax+b, ou seja, B7*A11+B8.

12° Na célula B11 utilizaremos essa fórmula, mas colocaremos a sigla sifão para travarmos a linha e a coluna e para calcular o resultado de Y seguindo os valores de X que vão de -5 até 5, ficando assim : $B$7*A11+$B$8 .

13° - Posicionaremos o cursor no quadradinho que aparecerá na célula B11 e Arrastaremos até a célula B21 para obtermos os valores de Y.
14° - para a EQUAÇÃO B, utilizaremos a mesma forma, do 10° passo até o 13° passo. A tabela ficará dessa maneira:
15° - Para a construção do gráfico, selecionaremos os valores de X e Y das duas equações, ou seja, selecionaremos da célula A10 até a célula E21, e clicaremos na opção inserir da barra de ferramentas e depois em gráfico.
Depois aparecerá uma janela, em que escolheremos qual tipo de gráfico usar, escolheremos o XY(dispersão) somente linhas e clicaremos em concluir., depois é só fazer a formatação que quisermos no gráfico e nas retas. O gráfico ficou assim:

Podemos Observar através do gráfico, que com as retas se cruzando temos o sistema é considerado possível e determinado, tendo como solução S={(3, 2)}, pois foi onde ocorreu o encontro das duas retas, o ponto de intersecção.

2) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.

Hortelã: x
Laranja: y



Resposta: Temos 24 Balas de Hortelã e e 24 de laranja.

3) Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno.

Caneta: x
Caderno: y
Resposta: o Valor de uma caneta é de R$ 3,50 e de um caderno é de R$6,00.

REFERÊNCIAS

NETTO, Scipione de Pierro. Matemática conceitos e histórias. ed. scipione, 5ª edição, São Paulo, 1997. Pg.106-117.

Brasil Escola. Disponível em:<http://www.brasilescola.com/matematica/solucao-um-sistema-equacoes-1-grau-com-duas-incognitas-.htm>. Acesso em 17 de junho de 2012. Horas: 10:45.

Julio Battisti. Disponível em: <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos038.asp> Acesso em 20 de junho de 2012. Horas: 13:00.

Alunos Online. Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/sistemas-de-equacoes.html> Acesso em 22 de junho de 2012. Horas: 08:00.

7 comentários:

  1. A) x+Y=1 B) 3X+Y=13 C) 2X+Y=4
    4X+7X=10 X-2X=2 3X-Y=1

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  2. Me ajudem não to conseguindo responder essa x + 3y = 13
    2x - 3y = 8

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    1. X=13-3y

      Substituindo o X na equação 2x-3y=8, fica assim:

      2(13-3y) - 3y = 8
      26-6y-3y =8
      26-9y= 8
      -9y=8-26
      -9y=-18
      y= 2

      O valor de X

      x+3(2)=13
      x+6=13
      x= 13-6
      x=7

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  3. Guerreiro vc faz assim pelo método da substituição:
    x+3y=13 (I)
    2x-3y= 8 (II)

    Primeiro passo:
    Pega a primeira equação e isola o X assim:
    x+3y=13
    x= 13-3y
    Segundo passo vc vai usar o valor de X na segunda equação:
    2x-3y=8
    2 (13-3y)-3y=8
    26-6y-3y=8
    -9y=8-26
    -9y=-18 multiplica por (-1)
    9y=18
    y=18/9
    y=2
    Agora é só vc usar la na primeira equação onde descobrimos o X assim:
    x=13-3y
    x=13-3*2
    x=13-6
    x=7
    Agora vc confere no sistema pra ver se deu certo:
    x+3y=13
    7+3*2
    7+6= 13

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