Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
R: X notas de R$20,00 e Y notas de R$5,00
Montando o sistema fica assim:
Para resolvermos este sistema, basta multiplicar uma das equações para que fique igual , mas com os sinais opostos.
1° passo: pegar a primeira equação e multiplicar por (-5) para tornar o Y igual e com sinal oposto para podermos simplificar o Y e ficar somente com uma incógnita para achar seu valor.
15° - Para a construção do gráfico, selecionaremos os valores de X e Y das duas equações, ou seja, selecionaremos da célula A10 até a célula E21, e clicaremos na opção inserir da barra de ferramentas e depois em gráfico.
Podemos Observar através do gráfico, que com as retas se cruzando temos o sistema é considerado possível e determinado, tendo como solução S={(3, 2)}, pois foi onde ocorreu o encontro das duas retas, o ponto de intersecção.
Resposta: o Valor de uma caneta é de R$ 3,50 e de um caderno é de R$6,00.
x+y = 10 *(-5)
-5x-5y = -50 ← Ficando assim a equação .
-5x-5y = -50 ← Ficando assim a equação .
2° Passo: Somar a primeira equação com a segunda.
Resposta: Cláudio usou seis notas de R$20,00 e quatro notas de R$5,00.
DEFINIÇÃO
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Eles são utilizados para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis. A resolução dos sistemas consiste em estabelecer uma relação entre as equações e aplicar técnicas de resolução. Os sistemas de equações podem ser possível e determinado, acontece quando se tem uma única solução, ou seja, quando as retas formadas pelas equações se cruzam em um único ponto. E podem ser impossível quando as retas formadas pelas equações no gráfico são paralelas.
Os métodos usados na resolução de um sistema são: Adição e substituição.
- O método da adição deve ser utilizado nos sistemas em que existe a oportunidade de zerar uma das incógnitas. como está explicado no exemplo acima.
- O método da substituição consiste em trabalhar qualquer equação do sistema de forma a isolar uma das incógnitas, substituindo o valor isolado na outra equação.
EXEMPLOS
I) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de substituição:
II) Resolva o seguinte Sistema escolhendo a equação e a variável mais conveniente para aplicar o processo de adição:
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x.
2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) } .
ATIVIDADES
1) Com o uso de uma planilha eletrônica (BrOffice Calc), dê a resolução gráfica do seguinte sistema:
Para Obter a resolução gráfica desse sistema, utilizaremos o BrOffice Calc. Descreverei passo a passo o modo de construção da tabela e do gráfico.
1° - com o BrOffice Calc Aberto, Na célula A1, escreveremos o título do conteúdo "SISTEMAS DE EQUAÇÃO"
2° - Na célula A3 e A4, colocaremos as duas equações na forma reduzida: y= 5 - x
y= 1+x.
y= 1+x.
3° - Na célula A6 escreve-se EQUAÇÃO A e na célula D6 escreve-se EQUAÇÃO B.
4° - Nas célular A7 e A8 colocaremos as letras A com o sinal de igual (A=) e B com o sinal de igual (B=).
5° - Nas células D7 e D8 Faremos a mesma coisa.
6° - Nas células B7 coloca -se o coeficiente angular e na célula B8 coloca -se o coeficiente linear (da primeira equação)
7° - Nas células E7 coloca-se o coeficiente angular e na célula E8 coloca-se o coeficiente linear ( da segunda equação).
8° - Na célula A10 colocaremos X e na célula B10 colocaremos Y para atribuirmos valores para a primeira equação.
9° - Na célula D10 colocaremos X e na célula E10 colocaremos Y para atribuirmos valores para a segunda equação.
10° - Na célula A11 poderemos atribuir qualquer valor, colocaremos então, -5 , na célula A12 coloca-se o valor -4... até a célula A21 chegando no valor 5.
11° - Para calcular o valor de Y, usaremos a seguinte formula: y=ax+b, ou seja, B7*A11+B8.
12° Na célula B11 utilizaremos essa fórmula, mas colocaremos a sigla sifão para travarmos a linha e a coluna e para calcular o resultado de Y seguindo os valores de X que vão de -5 até 5, ficando assim : $B$7*A11+$B$8 .
13° - Posicionaremos o cursor no quadradinho que aparecerá na célula B11 e Arrastaremos até a célula B21 para obtermos os valores de Y.
14° - para a EQUAÇÃO B, utilizaremos a mesma forma, do 10° passo até o 13° passo. A tabela ficará dessa maneira:
15° - Para a construção do gráfico, selecionaremos os valores de X e Y das duas equações, ou seja, selecionaremos da célula A10 até a célula E21, e clicaremos na opção inserir da barra de ferramentas e depois em gráfico.
Depois aparecerá uma janela, em que escolheremos qual tipo de gráfico usar, escolheremos o XY(dispersão) somente linhas e clicaremos em concluir., depois é só fazer a formatação que quisermos no gráfico e nas retas. O gráfico ficou assim:
Podemos Observar através do gráfico, que com as retas se cruzando temos o sistema é considerado possível e determinado, tendo como solução S={(3, 2)}, pois foi onde ocorreu o encontro das duas retas, o ponto de intersecção.2) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.
Hortelã: x
Laranja: y
Resposta: Temos 24 Balas de Hortelã e e 24 de laranja.
3) Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno.
Caneta: x
Caderno: y
Caderno: y
Resposta: o Valor de uma caneta é de R$ 3,50 e de um caderno é de R$6,00.REFERÊNCIAS
NETTO, Scipione de Pierro. Matemática conceitos e histórias. ed. scipione, 5ª edição, São Paulo, 1997. Pg.106-117.
Brasil Escola. Disponível em:<http://www.brasilescola.com/matematica/solucao-um-sistema-equacoes-1-grau-com-duas-incognitas-.htm>. Acesso em 17 de junho de 2012. Horas: 10:45.
Julio Battisti. Disponível em: <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos038.asp> Acesso em 20 de junho de 2012. Horas: 13:00.
Alunos Online. Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/sistemas-de-equacoes.html> Acesso em 22 de junho de 2012. Horas: 08:00.
